Urodził się 29 lutego 1924 r. w Sancygniowie (diecezja kielecka) jako syn Stanisławy Kosseckiej i Andrzeja Deskura.

W 1945 r. uzyskał tytuł magistra obojga praw (rzymskiego i kościelnego) na Uniwersytecie Jagiellońskim w Krakowie.

W listopadzie 1945 r. wstąpił do Seminarium Duchownego w Krakowie.

W 1948 r. kard. Adam Stefan Sapieha wysłał go na studia do Fryburga, gdzie w 1950 r. uzyskał tytuł doktora teologii.

20 sierpnia 1950 r. otrzymał święcenia kapłańskie z rąk kard. Gerliera w Saint Bonne les Oules we Francji (na terenie tej parafii znajduje się posiadłość francuskich Descours’ów).

W 1952 r. uzyskał doktorat z nauk społecznych na Uniwersytecie Fryburskim i rozpoczął studia na Papieskiej Akademii Dyplomatycznej w Rzymie; Papież Pius XII mianował go referentem w nowo powołanej Papieskiej Komisji ds. Kinematografii i Radia.

W latach 1962-1965 r. uczestniczył jako teolog w pracach Soboru Watykańskiego II i brał udział w opracowaniu Konstytucji duszpasterskiej o Kościele Gaudium et spes oraz Dekretu o środkach społecznego przekazywania myśli Inter mirifica.

W 1966 r. i 1967 r. towarzyszył abp. Agostino Casarolemu, przewodniczącemu zespołu ds. kontaktów Stolicy Apostolskiej z Rządem PRL, w jego podróżach do Polski (Warszawa, Gniezno i Warmia).

W 1966 r. Papież Paweł VI mianował go sekretarzem Papieskiej Komisji ds. Środków Społecznego Przekazu, a w 1973 r. - przewodniczącym tejże Komisji.

17 czerwca 1974 r. został mianowany biskupem tytularnym Tene w Tunezji.

30 czerwca 1974 r. przyjął z rąk Ojca Świętego Pawła VI sakrę biskupią w Bazylice św. Piotra.

13 października 1978 r., tuż przed wyborem kard. Karola Wojtyły na papieża, miał wylew krwi do mózgu i został częściowo sparaliżowany (paraliż lewostronny).

15 lutego 1980 r. Papież Jan Paweł II podniósł go do godności arcybiskupa.

25 maja 1985 r. został wyniesiony do godności kardynalskiej (jego kościołem tytularnym jest świątynia pw. św. Karola in Palatio).

Obecnie jest emerytowanym przewodniczącym Papieskiej Rady ds. Środków Społecznego Przekazu i prezesem Papieskiej Akademii Niepokalanej. Mieszka w Pałacu św. Karola w Watykanie.